Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{π x}} d x$

Этап 2

Пусть $u = π x$ . Тогда $d u = π d x$ , следовательно $\frac{1}{π} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = π x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $π$ является константой относительно $x$ , производная $π x$ по $x$ равна $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 1$

Этап 2.3

Умножим $π$ на $1$ .

$u_{lower} = π$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = π x$ .

$u_{upper} = π t$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = π t$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{π} d u$

Этап 3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{π}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u} π} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{π}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{π}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} \int_{π}^{π t} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{π} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{π}$ и $2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{π}^{π t}}{π}$

Этап 8

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $π t$ и в $π$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Этап 9

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Этап 9.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 2 {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Этап 9.2

Поскольку функция ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ стремится к $\infty$ , произведение положительной константы $2$ и функции стремится к $\infty$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Рассмотрим предел с исключенной константой, кратной $2$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} {(π t)}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Этап 9.2.2

Перепишем ${(π t)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{π t}$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{π t} - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Этап 9.2.3

Когда $t$ стремится к $\infty$ для радикалов, значение стремится к $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Этап 9.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Найдем предел $2 π^{\frac{1}{2}}$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{lim_{t \to \infty} π}$

Этап 9.3.2

Найдем предел $π$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$\frac{\infty - 2 π^{\frac{1}{2}}}{π}$

Этап 9.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Разность или сумма бесконечности и числа равна бесконечности.

$\frac{\infty}{π}$

Этап 9.3.3.2

Бесконечность, деленная на любое конечное ненулевое число, есть бесконечность.

$\infty$