Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Переставляем члены.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Этап 1.2

Применим формулу Пифагора.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Этап 1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Этап 2

Интеграл $\sec (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ в $\frac{π}{3}$ и в $0$ .

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 3.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 3.2.3

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Этап 3.2.4

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Этап 3.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Этап 3.2.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

$2 + \sqrt{3}$ приблизительно равно $3.7320508$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Этап 3.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Этап 3.3.3

Разделим $2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Десятичная форма:

$1.31695789 \dots$