Математический анализ Примеры

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{1 + \tan^{2} (x)} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Переставляем члены.

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\tan^{2} (x) + 1} d x$

Этап 1.2

Применим формулу Пифагора.

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sqrt{\sec^{2} (x)} d x$

Этап 1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec (x) d x$

Этап 2

Интеграл

\sec (x)

$\sec (x)$ по

x

$x$ имеет вид

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение

\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)

$\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ в

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ и в

0

$0$ .

\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)

$\ln (| \sec (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Точное значение

\sec (\frac{π}{3})

$\sec (\frac{π}{3})$ :

2

$2$ .

\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)

$\ln (| 2 + \tan (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 3.2.2

Точное значение

\tan (\frac{π}{3})

$\tan (\frac{π}{3})$ :

\sqrt{3}

$\sqrt{3}$ .

\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

Этап 3.2.3

Точное значение

\sec (0)

$\sec (0)$ :

1

$1$ .

\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

Этап 3.2.4

Точное значение

\tan (0)

$\tan (0)$ :

0

$0$ .

\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 + 0 |)$

Этап 3.2.5

Добавим

1

$1$ и

0

$0$ .

\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)

$\ln (| 2 + \sqrt{3} |) - \ln (| 1 |)$

Этап 3.2.6

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})

$\ln (\frac{| 2 + \sqrt{3} |}{| 1 |})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$ приблизительно равно

3.7320508

$3.7320508$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{| 1 |})$

Этап 3.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

0

$0$ и

1

$1$ равно

1

$1$ .

\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})

$\ln (\frac{2 + \sqrt{3}}{1})$

Этап 3.3.3

Разделим

2 + \sqrt{3}

$2 + \sqrt{3}$ на

1

$1$ .

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

\ln (2 + \sqrt{3})

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Десятичная форма:

1.31695789 \dots

$1.31695789 \dots$