Математический анализ Примеры

$y = {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{9}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{9}$ и $g (x) = \sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin^{5} (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} \frac{d}{d x} [\sin^{5} (x^{3} + 7)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x^{3} + 7)$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [\sin (x^{3} + 7)])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x^{3} + 7$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

Этап 3.2

Производная $\sin (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $\cos (u_{3})$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x^{3} + 7$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) (\cos (x^{3} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]))$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7]))$

Этап 4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2} + 0))$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (5 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) (3 x^{2}))$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $5$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2})$

Этап 4.4.3

Изменим порядок множителей в $15 \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7) x^{2}$ .

$9 {(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Этап 5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перемножим экспоненты в ${(\sin^{5} (x^{3} + 7))}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {\sin (x^{3} + 7)}^{5 \cdot 8} (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Этап 5.1.2

Умножим $5$ на $8$ .

$9 \sin^{40} (x^{3} + 7) (15 x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Этап 5.2

Умножим $15$ на $9$ .

$135 \sin^{40} (x^{3} + 7) (x^{2} \sin^{4} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7))$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$135 (x^{2} {\sin (x^{3} + 7)}^{40 + 4} \cos (x^{3} + 7))$

Этап 5.4

Добавим $40$ и $4$ .

$135 x^{2} \sin^{44} (x^{3} + 7) \cos (x^{3} + 7)$