Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - 2}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Этап 1.1.3.1.2

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Этап 1.1.3.1.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Этап 1.1.3.1.4

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - lim_{x \to - 3} 2}$

Этап 1.1.3.1.5

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{- 3 + 7} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Добавим $- 3$ и $7$ .

$\frac{0}{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.3.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 9}{\sqrt{x + 7} - 2} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Этап 1.3.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7} - 2]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $\sqrt{x + 7} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 7}$ в виде ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 7$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.3

По правилу суммы производная $x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [7]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.7.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.11

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.12

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.13

Умножим $\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.7.14

Перенесем ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x}{\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 3} 2 x (2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.5

Перепишем ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x + 7}$ .

$lim_{x \to - 3} 2 x (2 \sqrt{x + 7})$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $2$ .

$lim_{x \to - 3} 4 x \sqrt{x + 7}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$4 lim_{x \to - 3} x \sqrt{x + 7}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot lim_{x \to - 3} \sqrt{x + 7}$

Этап 2.3

Внесем предел под знак радикала.

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 7}$

Этап 2.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$4 lim_{x \to - 3} x \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 3$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$4 \cdot - 3 \cdot \sqrt{lim_{x \to - 3} x + 7}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$4 \cdot - 3 \cdot \sqrt{- 3 + 7}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $4$ на $- 3$ .

$- 12 \cdot \sqrt{- 3 + 7}$

Этап 4.2

Добавим $- 3$ и $7$ .

$- 12 \cdot \sqrt{4}$

Этап 4.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- 12 \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 4.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$- 12 \cdot 2$

Этап 4.5

Умножим $- 12$ на $2$ .

$- 24$