Математический анализ Примеры

${(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - \frac{1}{3} x^{2}$ .

$3 {(4 - \frac{1}{3} x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{1}{3} x^{2}]$

Этап 2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{3}$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [4 - \frac{x^{2}}{3}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $4 - \frac{x^{2}}{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Этап 2.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{3}]$

Этап 2.6

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2}}{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 3$ .

$\frac{- 3}{3} {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7.3

Объединим $\frac{- 3}{3}$ и ${(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7.4

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 (1)} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2})}{3 \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.7.4.2.4

Разделим $- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$ на $1$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} (2 x)$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$

Этап 2.9.2

Изменим порядок множителей в $- 2 {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2} x$ .

$- 2 x {(4 - \frac{x^{2}}{3})}^{2}$