Математический анализ Примеры

$lim_{y \to 2} {(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Вынесем степень $\frac{1}{3}$ в выражении ${(\frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(lim_{y \to 2} \frac{4 y^{3} + 8 y}{y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $y$ к $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $2$ .

${(\frac{lim_{y \to 2} 4 y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 4

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

${(\frac{4 lim_{y \to 2} y^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 5

Вынесем степень $3$ в выражении $y^{3}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + lim_{y \to 2} 8 y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 6

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $y$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $y$ к $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + lim_{y \to 2} 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 8

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $y$ к $2$ .

${(\frac{4 {(lim_{y \to 2} y)}^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем предел $y$ , подставив значение $2$ для $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 lim_{y \to 2} y}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9.2

Найдем предел $y$ , подставив значение $2$ для $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{lim_{y \to 2} y + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 9.3

Найдем предел $y$ , подставив значение $2$ для $y$ .

${(\frac{4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $4 \cdot 2^{3} + 8 \cdot 2$ и $2 + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 \cdot 2^{3}$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 8 \cdot 2}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (4 \cdot 2)$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 (1) + 4})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \cdot 2$ .

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.4.4

Сократим общий множитель.

${(\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2)}{2 \cdot (1 + 2)})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.1.4.5

Перепишем это выражение.

${(\frac{2 \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Умножим $2$ на $2^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

${(\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${(\frac{2^{1 + 3} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2.1.2

Добавим $1$ и $3$ .

${(\frac{2^{4} + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

${(\frac{16 + 4 \cdot 2}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2.3

Умножим $4$ на $2$ .

${(\frac{16 + 8}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.2.4

Добавим $16$ и $8$ .

${(\frac{24}{1 + 2})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.3

Добавим $1$ и $2$ .

${(\frac{24}{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.4

Разделим $24$ на $3$ .

$8^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.5

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

${(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Этап 10.6

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 10.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Сократим общий множитель.

$2^{3 (\frac{1}{3})}$

Этап 10.7.2

Перепишем это выражение.

$2^{1}$

Этап 10.8

Найдем экспоненту.

$2$