Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$3 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.6

Объединим $\cos (\frac{x}{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.2.7

Объединим $3$ и $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ и $0$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{x}{2})}{4}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

Этап 4

Приравняем числитель к нулю.

$3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Разделим каждый член $3 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ на $3$ .

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cos (\frac{x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.1.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{3}$

Этап 5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

Этап 5.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

Этап 5.4

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$x = π$

Этап 5.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.6.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

Этап 5.6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Упростим $2 (2 π - \frac{π}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 5.6.2.2.1.2

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Этап 5.6.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.6.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.6.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 π \cdot 2 - π$

Этап 5.6.2.2.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 π - π$

Этап 5.6.2.2.1.6

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = 3 π$

Этап 5.7

Решение уравнения $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = π, 3 π$

Этап 6

Найдем вторую производную в $x = π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 \sin (\frac{π}{2})}{4}$

Этап 7

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{4}$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- \frac{3}{4}$

Этап 8

$x = π$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = π$ — локальный максимум

Этап 9

Найдем значение y, если $x = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $π$ .

$f (π) = 3 \sin (\frac{π}{2}) + 4$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (π) = 3 \cdot 1 + 4$

Этап 9.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (π) = 3 + 4$

Этап 9.2.2

Добавим $3$ и $4$ .

$f (π) = 7$

Этап 9.2.3

Окончательный ответ: $7$ .

$y = 7$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 3 π$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{3 \sin (\frac{3 π}{2})}{4}$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \frac{3 (- \sin (\frac{π}{2}))}{4}$

Этап 11.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- \frac{3 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Этап 11.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{3 \cdot - 1}{4}$

Этап 11.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \frac{- 3}{4}$

Этап 11.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3}{4}$

Этап 11.3

Умножим $- - \frac{3}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{4})$

Этап 11.3.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 12

$x = 3 π$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3 π$ — локальный минимум

Этап 13

Найдем значение y, если $x = 3 π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3 π$ .

$f (3 π) = 3 \sin (\frac{3 π}{2}) + 4$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

$f (3 π) = 3 (- \sin (\frac{π}{2})) + 4$

Этап 13.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (3 π) = 3 (- 1 \cdot 1) + 4$

Этап 13.2.1.3

Умножим $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (3 π) = 3 \cdot - 1 + 4$

Этап 13.2.1.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (3 π) = - 3 + 4$

Этап 13.2.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$f (3 π) = 1$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 14

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 \sin (\frac{x}{2}) + 4$ .

$(π, 7)$ — локальный максимум

$(3 π, 1)$ — локальный минимум

Этап 15