Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Этап 3

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Этап 6

Перепишем $- u^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- \frac{1}{x + 1} + C$

Этап 8

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x + 1} + C$