Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2}} - 2 \sin (x)$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x^{2}} - 2 \sin (x) d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int x^{- 2} d x + \int - 2 \sin (x) d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C + \int - 2 \sin (x) d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- x^{- 1} + C - 2 \int \sin (x) d x$

Этап 7

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- x^{- 1} + C - 2 (- \cos (x) + C)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

$- \frac{1}{x} - 2 (- \cos (x)) + C$

Этап 8.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{1}{x} + 2 \cos (x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x^{2}} - 2 \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + 2 \cos (x) + C$