Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} x \sqrt{1 + 2 x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 1 + 2 x^{2}$ . Тогда $d u = 4 x d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + 2 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 2 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + 2 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + 4 x$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $4 x$ .

$4 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 + 2 \cdot 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 1 + 2 x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 2^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{1} \cdot 2^{2}$

Этап 1.5.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$u_{upper} = 1 + 2^{1 + 2}$

Этап 1.5.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Этап 1.5.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $8$ .

$u_{upper} = 9$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Этап 4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Этап 6

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $9$ и в $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.6

Умножим $2$ на $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7

Сократим общий множитель $54$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Вынесем множитель $3$ из $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.7.2.4

Разделим $18$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 6.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 6.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{4} (18 - \frac{2}{3})$

Этап 6.2.10

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 6.2.11

Объединим $18$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 6.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Этап 6.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.13.1

Умножим $18$ на $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{54 - 2}{3}$

Этап 6.2.13.2

Вычтем $2$ из $54$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{52}{3}$

Этап 6.2.14

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{52}{3}$ .

$\frac{52}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.15

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{52}{12}$

Этап 6.2.16

Сократим общий множитель $52$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.1

Вынесем множитель $4$ из $52$ .

$\frac{4 (13)}{12}$

Этап 6.2.16.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.16.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.16.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 13}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.16.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{13}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{13}{3}$

Десятичная форма:

$4.\overline{3}$

Форма смешанных чисел:

$4 \frac{1}{3}$

Этап 8