Математический анализ Примеры

$\int y^{2} {(4 - y^{3})}^{\frac{2}{3}} d y$

Этап 1

Пусть $u = 4 - y^{3}$ . Тогда $d u = - 3 y^{2} d y$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 - y^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 - y^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [4 - y^{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $y$ , производная $4$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{3}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 - (3 y^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$0 - 3 y^{2}$

Этап 1.1.4

Вычтем $3 y^{2}$ из $0$ .

$- 3 y^{2}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{\frac{2}{3}} \frac{1}{- 3} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int u^{\frac{2}{3}} (- \frac{1}{3}) d u$

Этап 2.2

Объединим $u^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{u^{\frac{2}{3}}}{3} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int u^{\frac{2}{3}} d u)$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{2}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- \frac{1}{3} (\frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{3}{5}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$- \frac{3}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 6.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- \frac{3 (1)}{15} u^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 6.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 6.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 6.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{5} u^{\frac{5}{3}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $4 - y^{3}$ .

$- \frac{1}{5} {(4 - y^{3})}^{\frac{5}{3}} + C$