Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x - 7}{x^{2} - 4 x - 2 x^{3} - 1}$

Этап 1

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.1.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2 x^{2}}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{3}} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{x^{2} \cdot - 2}{x^{2} x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x^{3}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{- 7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x^{3}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{x \cdot - 4}{x \cdot x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} + \frac{- 4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.2.4.2

Разделим $- 2$ на $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{\frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{2}{x} + \frac{5}{x^{2}} - \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 2.6

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 4

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 6

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 7

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{3}}$ стремится к $0$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - \frac{4}{x^{2}} - 2 - \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 9

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 10

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 11

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 12

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 13

$\frac{4 - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Умножим $- 2$ на $0$ .

$\frac{4 + 0 + 5 \cdot 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 - 7 \cdot 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14.1.3

Умножим $- 7$ на $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14.1.4

Добавим $4 + 0 + 0$ и $0$ .

$\frac{4 + 0 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14.1.5

Добавим $4 + 0$ и $0$ .

$\frac{4 + 0}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14.1.6

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4}{0 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Умножим $- 4$ на $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 1 \cdot 2 - 0}$

Этап 14.2.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 - 0}$

Этап 14.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2 + 0}$

Этап 14.2.4

Добавим $0 + 0 - 2$ и $0$ .

$\frac{4}{0 + 0 - 2}$

Этап 14.2.5

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{4}{0 - 2}$

Этап 14.2.6

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{4}{- 2}$

Этап 14.3

Разделим $4$ на $- 2$ .

$- 2$