Математический анализ Примеры

$lim_{x \to \infty} {(1 + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2}}{5 x^{2}} + \frac{3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to \infty} {(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

Этап 3

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}$

Этап 4

Перепишем $x \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})$ в виде $\frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}}}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.1.2

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.1.3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 3 a^{2} + 3}{x^{2}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.2

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.1.2

Разделим $5$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.3.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.5

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.3.6

Вынесем член $3 a^{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.4

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x^{2}}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.6

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot \frac{5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.2.1

Разделим $5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 3 a^{2} \cdot 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.2.2.1

Умножим $3 a^{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.2.2.1.1

Умножим $0$ на $3$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 a^{2} + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.2.1.2

Умножим $0$ на $a^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 3 \cdot 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.2.2

Умножим $3$ на $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.3

Добавим $5$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} (5 + 0))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.4

Добавим $5$ и $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.7.2.5.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{5} \cdot 5)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.5.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.2.7.2.6

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 5.1.3

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$e^{\frac{0}{0}}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.4

Умножим $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.5

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{5 x^{2}}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.6

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{5 x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.7

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.7.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{5 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1))} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.7.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}{x^{2}}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ и $g (x) = x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.9

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)] - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.10

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (5 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.13

Умножим $2$ на $5$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + \frac{d}{d x} [3 (a^{2} + 1)]) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.14

Поскольку $3 (a^{2} + 1)$ является константой относительно $x$ , производная $3 (a^{2} + 1)$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} (10 x + 0) - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.15

Добавим $10 x$ и $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{2} \cdot 10 x - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.1

Перенесем $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.16.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1} x^{2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.16.3

Добавим $1$ и $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{x^{3} \cdot 10 - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.17

Перенесем $10$ влево от $x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 \cdot x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) \cdot 2 x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.19

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)} \cdot \frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.20

Умножим $\frac{x^{2}}{5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)}$ на $\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{x^{4}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.21

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.21.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.21.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.21.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 (5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} + (- 2 \cdot 5 x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 1) x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 (a^{2} + 1)) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.4

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{(5 x^{2} + 3 a^{2} + 3 \cdot 1) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.5

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{2} x - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.6.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.6.1.1.1

Перенесем $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x \cdot x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.6.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1} x^{2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{1 + 2} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 2 \cdot 5 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.1.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 2 \cdot 3 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.1.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 \cdot 1 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.1.4

Умножим $- 2 (3 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.6.1.4.1

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 2 \cdot 3 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.1.4.2

Умножим $- 2$ на $3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{10 x^{3} - 10 x^{3} - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.2

Вычтем $10 x^{3}$ из $10 x^{3}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.6.3

Вычтем $6 a^{2} x$ из $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.7

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.7.1.1

Перенесем $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2} x^{2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{2 + 2} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.7.1.3

Добавим $2$ и $2$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.7.2

Умножим $3$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 a^{2} x^{2} + 3 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.8

Изменим порядок членов.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 6 a^{2} x - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.9

Вынесем множитель $6 x$ из $- 6 a^{2} x - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.9.1

Вынесем множитель $6 x$ из $- 6 a^{2} x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} - 6 x}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.9.2

Вынесем множитель $6 x$ из $- 6 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x \cdot - 1 a^{2} + 6 x (- 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.9.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (- a^{2}) + 6 x (- 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.10

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{4} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.10.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{4}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.10.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 a^{2} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.10.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 a^{2} x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} \cdot 5 x^{2} + x^{2} \cdot 3 + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.10.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} \cdot 3$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} \cdot 3 a^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.10.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (5 x^{2} + 3) + x^{2} (3 a^{2})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 x (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.11

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.11.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x (- a^{2} - 1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.22.11.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.11.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 6 (- a^{2} - 1)}{x \cdot x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.11.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- a^{2} - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- a^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.13

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 (- (a^{2}) - 1 (1))}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a^{2}) - 1 (1)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6 \cdot - 1 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.22.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Этап 5.3.23

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Этап 5.3.24

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- x^{- 2}}}$

Этап 5.3.25

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} \cdot - 1 x^{2}}$

Этап 5.5

Объединим множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ на $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})} x^{2}}$

Этап 5.5.3

Объединим $\frac{6 (a^{2} + 1)}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}$ и $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x^{2}}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x$ из $6 (a^{2} + 1) x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{x \cdot 6 (a^{2} + 1) x}{x (5 x^{2} + 3 + 3 a^{2})}}$

Этап 5.6.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Этап 5.7

Изменим порядок множителей в $\frac{6 (a^{2} + 1) x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{6 x (a^{2} + 1)}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Этап 6

Вынесем член $6 (a^{2} + 1)$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{5 x^{2} + 3 + 3 a^{2}}}$

Этап 7

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x^{2}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{1}}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x^{2}}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8.1.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8.2.2

Разделим $5$ на $1$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 8.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 9

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{3}{x^{2}} + \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 10

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 10.2

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 10.3

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 11

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3 a^{2}}{x^{2}}}}$

Этап 12

Вынесем член $3 a^{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Этап 13

$e^{6 (a^{2} + 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Этап 14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{(6 a^{2} + 6 \cdot 1) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Этап 14.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 3 \cdot 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Этап 14.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 3 a^{2} \cdot 0}}$

Этап 14.1.3.2

Умножим $3 a^{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.3.2.1

Умножим $0$ на $3$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0 a^{2}}}$

Этап 14.1.3.2.2

Умножим $0$ на $a^{2}$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0 + 0}}$

Этап 14.1.3.3

Добавим $5 + 0$ и $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5 + 0}}$

Этап 14.1.3.4

Добавим $5$ и $0$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \frac{0}{5}}$

Этап 14.1.4

Разделим $0$ на $5$ .

$e^{(6 a^{2} + 6) \cdot 0}$

Этап 14.1.5

Умножим $6 a^{2} + 6$ на $0$ .

$e^{0}$

Этап 14.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1$