Математический анализ Примеры

$f (x) = - | x + 1 | + 6$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- | x + 1 | + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- | x + 1 |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- | x + 1 |$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = | x |$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.2.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$- (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.2.7

Умножим $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ на $1$ .

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ и $0$ .

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = | x + 1 |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.4.2

Умножим $| x + 1 |$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.4.2

Умножим $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + \frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 0$

Этап 2.5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Умножим $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ на $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}} + 0$

Этап 2.5.6.2

Добавим $- \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.2

Умножим $- x - 1$ на $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3.4

Перепишем $- (x + 1)$ в виде $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3.5

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3.6

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.2

Чтобы записать $| x + 1 |$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Умножим $| x + 1 | | x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.1.2

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.1.3

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.2

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.3

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.4.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.4.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.4.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.4.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.5

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.6

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.7.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.7.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.7.2

Добавим $x$ и $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.9.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.9.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.10

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11

Перепишем $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.11.1

Перегруппируем члены.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.11.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $| x^{2} + 2 x + 1 |$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - (2 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.11.3.1

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.3.3

Перепишем $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ в виде $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.4.11.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

Этап 2.6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Перепишем $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ в виде произведения.

$f'' (x) = - (- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}})$

Этап 2.6.3.2

Умножим $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ на $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Этап 2.6.3.3

Умножим ${| x + 1 |}^{2}$ на $| x + 1 |$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.3.1

Умножим ${| x + 1 |}^{2}$ на $| x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.3.1.1

Возведем $| x + 1 |$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

Этап 2.6.3.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

Этап 2.6.3.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Этап 2.6.3.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}})$

Этап 2.6.3.5

Умножим $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- | x + 1 | + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- | x + 1 |]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- | x + 1 |$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x + 1 |] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.2.2

Производная $| u |$ по $u$ равна $\frac{u}{| u |}$ .

$- (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.2.7

Умножим $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ на $1$ .

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ и $0$ .

$f' (x) = - \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ .

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$x + 1 = 0$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.4

Исключим решения, которые не делают $- \frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ истинным.

$Нет решения$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$| x + 1 | = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm 0$

Этап 6.2.2

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 6.2.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

Этап 9.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

Этап 9.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

Этап 10.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $- 4$ и $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{| - 3 |}$

Этап 10.2.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{- 3}{3}$

Этап 10.2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $3$ .

$f' (- 4) = 1$

Этап 10.2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f' (- 4) = 1$

Этап 10.2.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$1$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- 1, \infty)$ в первую производную $- \frac{x + 1}{| x + 1 |}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = - \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = - \frac{1}{| 0 + 1 |}$

Этап 10.3.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f' (0) = - \frac{1}{| 1 |}$

Этап 10.3.2.2.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Этап 10.3.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (0) = - \frac{1}{1}$

Этап 10.3.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (0) = - 1 \cdot 1$

Этап 10.3.2.3.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (0) = - 1$

Этап 10.3.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 10.4

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный максимум.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 11