Математический анализ Примеры

$- x y^{2} - 3 + 2 x^{3} = - 3 y^{3}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 y^{3})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x y^{2} - 3 + 2 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y^{2}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.2.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 2 (3 x^{2})$

Этап 2.4.3

Умножим $3$ на $2$ .

$- (2 x y y' + y^{2}) + 0 + 6 x^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Этап 2.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (x y y') - y^{2} + 0 + 6 x^{2}$

Этап 2.5.2.2

Добавим $- 2 x y y' - y^{2}$ и $0$ .

$- 2 x y y' - y^{2} + 6 x^{2}$

Этап 2.5.3

Изменим порядок членов.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 y^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$- 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 9 y^{2} y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' = - 9 y^{2} y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $9 y^{2} y'$ к обеим частям уравнения.

$6 x^{2} - y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $6 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- y^{2} - 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2}$

Этап 5.2.2

Добавим $y^{2}$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x y y' + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y y'$ из $- 2 x y y' + 9 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y y'$ из $- 2 x y y'$ .

$y y' (- 2 x) + 9 y^{2} y' = - 6 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y y'$ из $9 y^{2} y'$ .

$y y' (- 2 x) + y y' (9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y y'$ из $y y' (- 2 x) + y y' (9 y)$ .

$y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ на $y (- 2 x + 9 y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y y' (- 2 x + 9 y) = - 6 x^{2} + y^{2}$ на $y (- 2 x + 9 y)$ .

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y y' (- 2 x + 9 y)}{y (- 2 x + 9 y)} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.2.2

Сократим общий множитель $- 2 x + 9 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- 2 x + 9 y)}{- 2 x + 9 y} = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y}$

Этап 5.4.3.2

Чтобы записать $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y}{- 2 x + 9 y} \cdot \frac{y}{y}$

Этап 5.4.3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $y (- 2 x + 9 y)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.3.1

Умножим $\frac{y}{- 2 x + 9 y}$ на $\frac{y}{y}$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{(- 2 x + 9 y) y}$

Этап 5.4.3.3.2

Изменим порядок множителей в $(- 2 x + 9 y) y$ .

$y' = - \frac{6 x^{2}}{y (- 2 x + 9 y)} + \frac{y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y \cdot y}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.5

Умножим $y$ на $y$ .

$y' = \frac{- 6 x^{2} + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) + y^{2}}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $y^{2}$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x^{2}) - 1 (- y^{2})$ .

$y' = \frac{- (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.9

Перепишем $- (6 x^{2} - y^{2})$ в виде $- 1 (6 x^{2} - y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 2 x + 9 y)}$

Этап 5.4.3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) + 9 y)}$

Этап 5.4.3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $9 y$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x) - (- 9 y))}$

Этап 5.4.3.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - (- 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- (2 x - 9 y))}$

Этап 5.4.3.13

Перепишем $- (2 x - 9 y)$ в виде $- 1 (2 x - 9 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Этап 5.4.3.14

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (6 x^{2} - y^{2})}{y (- 1 (2 x - 9 y))}$

Этап 5.4.3.15

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - y^{2}}{y (2 x - 9 y)}$