Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) e^{x^{3} - 3 x + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Тогда $d u = (3 x^{2} - 3) d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = (x^{2} - 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} - 3 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} - 3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x + 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 3$ и $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 3 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 1.3.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{3} - 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$u_{upper} = 8 - 3 \cdot 2 + 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$u_{upper} = 8 - 6 + 1$

Этап 1.5.2

Вычтем $6$ из $8$ .

$u_{upper} = 2 + 1$

Этап 1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$u_{upper} = 3$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 3$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{3} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int_{1}^{3} \frac{e^{u}}{3} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int_{1}^{3} e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{1}^{3}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $e^{u}$ в $3$ и в $1$ .

$\frac{1}{3} ((e^{3}) - e^{1})$

Этап 5.2

Упростим.

$\frac{1}{3} (e^{3} - e)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{3} e^{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e^{3}$ .

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{1}{3} (- e)$

Этап 6.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $e$ .

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{e}{3}$

Десятичная форма:

$5.78908503 \dots$

Этап 8