Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{11} (x) \sin^{5} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\cos^{10} (x)$ за скобки.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{10} (x) \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\cos (x)}^{2 (5)} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\cos (x)}^{2 (5)}$ в виде степенного выражения.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(\cos^{2} (x))}^{5} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {(1 - \sin^{2} (x))}^{5} \cos (x) \sin^{5} (x) d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = \sin (x)$ . Тогда $d u_{1} = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 4.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 4.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 4.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 4.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 4.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{0}^{1} {(1 - {u_{1}}^{2})}^{5} {u_{1}}^{5} d u_{1}$

Этап 5

Пусть $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $1 - {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $1$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- {u_{1}}^{2}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 u_{1})$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 u_{1}$

Этап 5.1.4

Вычтем $2 u_{1}$ из $0$ .

$- 2 u_{1}$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Этап 5.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Этап 5.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $u_{1}$ в $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${\sqrt{- u_{2} + 1}}^{4}$ в виде ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- u_{2} + 1}$ в виде ${(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {({(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 4} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{4}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{\frac{2}{1}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{2} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Этап 6.3

Объединим ${u_{2}}^{5}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} (- \frac{{u_{2}}^{5}}{2}) d u_{2}$

Этап 6.4

Объединим ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ и $\frac{{u_{2}}^{5}}{2}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{1}^{0} \frac{{(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{5}}{2} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{5} d u_{2})$

Этап 9

Развернем ${(- u_{2} + 1)}^{2} {u_{2}}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${(- u_{2} + 1)}^{2}$ в виде $(- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1)$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} + 1) (- u_{2} + 1) {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2} + 1) + 1 (- u_{2} + 1)) {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1 + 1 (- u_{2} + 1)) {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1 + 1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} (- u_{2} (- u_{2}) - u_{2} \cdot 1) {u_{2}}^{5} + (1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - u_{2} (- u_{2}) {u_{2}}^{5} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{5} + (1 (- u_{2}) + 1 \cdot 1) {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.7

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - u_{2} (- u_{2}) {u_{2}}^{5} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{5} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.8

Перенесем $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} - u_{2} \cdot 1 {u_{2}}^{5} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.9

Перенесем $u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} - 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 (- u_{2}) {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} 1 u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.11

Умножим $u_{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u_{2} \cdot u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.12

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1} u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.13

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1} {u_{2}}^{1} {u_{2}}^{5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{1 + 1} {u_{2}}^{5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.15

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{2 + 5} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.17

Добавим $2$ и $5$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - 1 \cdot 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.18

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.19

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - (u_{2} \cdot {u_{2}}^{5}) + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.20

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{5}) + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{1 + 5} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.22

Добавим $1$ и $5$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} + 1 \cdot - 1 u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.23

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} - u_{2} \cdot {u_{2}}^{5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.24

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} - (u_{2} \cdot {u_{2}}^{5}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.25

Возведем $u_{2}$ в степень $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} - ({u_{2}}^{1} {u_{2}}^{5}) + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{1 + 5} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.27

Добавим $1$ и $5$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{6} + 1 \cdot 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.28

Умножим $1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{6} + 1 {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.29

Умножим ${u_{2}}^{5}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - {u_{2}}^{6} - {u_{2}}^{6} + {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 9.30

Вычтем ${u_{2}}^{6}$ из $- {u_{2}}^{6}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} - 2 {u_{2}}^{6} + {u_{2}}^{5} d u_{2}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{2} (\int_{1}^{0} {u_{2}}^{7} d u_{2} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2})$

Этап 11

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{7}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}]_{1}^{0} + \int_{1}^{0} - 2 {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2})$

Этап 12

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}]_{1}^{0} - 2 \int_{1}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2} + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2})$

Этап 13

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{6}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}]_{1}^{0} - 2 (\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и ${u_{2}}^{7}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{8} {u_{2}}^{8}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2})$

Этап 14.2

Объединим $\frac{1}{8}$ и ${u_{2}}^{8}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{8}}{8}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} {u_{2}}^{5} d u_{2})$

Этап 15

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{5}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{8}}{8}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}) + \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{1}^{0})$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Объединим $\frac{{u_{2}}^{8}}{8}]_{1}^{0}$ и $\frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{1}^{0}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{8}}{8} + \frac{1}{6} {u_{2}}^{6}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}))$

Этап 16.2

Объединим $\frac{1}{6}$ и ${u_{2}}^{6}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{8}}{8} + \frac{{u_{2}}^{6}}{6}]_{1}^{0} - 2 (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}))$

Этап 17

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Найдем значение $\frac{{u_{2}}^{8}}{8} + \frac{{u_{2}}^{6}}{6}$ в $0$ и в $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{0^{8}}{8} + \frac{0^{6}}{6}) - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 (\frac{{u_{2}}^{7}}{7}]_{1}^{0}))$

Этап 17.2

Найдем значение $\frac{{u_{2}}^{7}}{7}$ в $0$ и в $1$ .

$- \frac{1}{2} ((\frac{0^{8}}{8} + \frac{0^{6}}{6}) - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{0}{8} + \frac{0^{6}}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.1

Вынесем множитель $8$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{8 (0)}{8} + \frac{0^{6}}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} + \frac{0^{6}}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (\frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} + \frac{0^{6}}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (\frac{0}{1} + \frac{0^{6}}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0^{6}}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.4

Сократим общий множитель $0$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.4.1

Вынесем множитель $6$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{6 (0)}{6} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.4.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (0 + \frac{0}{1} - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.4.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 + 0 - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.5

Добавим $0$ и $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1^{8}}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.6

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{8} + \frac{1^{6}}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.7

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{8} + \frac{1}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.8

Чтобы записать $\frac{1}{8}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.9

Чтобы записать $\frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{4}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.10

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $24$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.10.1

Умножим $\frac{1}{8}$ на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{3}{8 \cdot 3} + \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{4}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.10.2

Умножим $8$ на $3$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{3}{24} + \frac{1}{6} \cdot \frac{4}{4}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.10.3

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{3}{24} + \frac{4}{6 \cdot 4}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.10.4

Умножим $6$ на $4$ .

$- \frac{1}{2} (0 - (\frac{3}{24} + \frac{4}{24}) - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{3 + 4}{24} - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.12

Добавим $3$ и $4$ .

$- \frac{1}{2} (0 - \frac{7}{24} - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.13

Вычтем $\frac{7}{24}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 ((\frac{0^{7}}{7}) - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.14

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (\frac{0}{7} - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.15

Сократим общий множитель $0$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.15.1

Вынесем множитель $7$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (\frac{7 (0)}{7} - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.15.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.15.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (\frac{7 \cdot 0}{7 \cdot 1} - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.15.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (\frac{0}{1} - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.15.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (0 - \frac{1^{7}}{7}))$

Этап 17.3.16

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (0 - \frac{1}{7}))$

Этап 17.3.17

Вычтем $\frac{1}{7}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} - 2 (- \frac{1}{7}))$

Этап 17.3.18

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} + 2 (\frac{1}{7}))$

Этап 17.3.19

Объединим $2$ и $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} + \frac{2}{7})$

Этап 17.3.20

Чтобы записать $- \frac{7}{24}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7})$

Этап 17.3.21

Чтобы записать $\frac{2}{7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{24}{24}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7}{24} \cdot \frac{7}{7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{24}{24})$

Этап 17.3.22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $168$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.22.1

Умножим $\frac{7}{24}$ на $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7 \cdot 7}{24 \cdot 7} + \frac{2}{7} \cdot \frac{24}{24})$

Этап 17.3.22.2

Умножим $24$ на $7$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7 \cdot 7}{168} + \frac{2}{7} \cdot \frac{24}{24})$

Этап 17.3.22.3

Умножим $\frac{2}{7}$ на $\frac{24}{24}$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7 \cdot 7}{168} + \frac{2 \cdot 24}{7 \cdot 24})$

Этап 17.3.22.4

Умножим $7$ на $24$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{7 \cdot 7}{168} + \frac{2 \cdot 24}{168})$

Этап 17.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 7 \cdot 7 + 2 \cdot 24}{168}$

Этап 17.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.24.1

Умножим $- 7$ на $7$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 49 + 2 \cdot 24}{168}$

Этап 17.3.24.2

Умножим $2$ на $24$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 49 + 48}{168}$

Этап 17.3.24.3

Добавим $- 49$ и $48$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{168}$

Этап 17.3.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{168})$

Этап 17.3.26

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{168}$

Этап 17.3.27

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{168}$

Этап 17.3.28

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{168}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 168}$

Этап 17.3.29

Умножим $2$ на $168$ .

$\frac{1}{336}$

Этап 18

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{336}$

Десятичная форма:

$0.00297619 \dots$