Математический анализ Примеры

$2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Этап 1

Запишем $2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ в виде функции.

$f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 2 \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \csc^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Этап 5

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 5.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Этап 6.2

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Этап 6.3

Перенесем $3$ влево от $\csc^{2} (u)$ .

$2 \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Этап 7

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Этап 8

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \int \csc^{2} (u) d u$

Этап 9

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$6 (- \cot (u) + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$6 (- \cot (u)) + C$

Этап 10.2

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \cot (u) + C$

Этап 11

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{3}$ .

$- 6 \cot (\frac{x}{3}) + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 2 \csc^{2} (\frac{x}{3})$ .

$F (x) =$ $- 6 \cot (\frac{1}{3} x) + C$