Математический анализ Примеры

$x^{3} e^{x^{2}}$

Этап 1

Запишем $x^{3} e^{x^{2}}$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x^{3} e^{x^{2}} d x$

Этап 4

Пусть $u = x^{2}$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $u$ .

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

Этап 5.2

Объединим $\frac{u}{2}$ и $e^{u}$ .

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

Этап 7

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int w d v = w v - \int v d w$ , где $w = u$ и $dv = e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Этап 11.2

Умножим $\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Этап 11.2.2

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

Этап 11.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

Этап 12

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

Этап 13

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x^{3} e^{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$