Математический анализ Примеры

$\sqrt{3 \cos^{3} (x)}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 \cos^{3} (x)}]$ в виде $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $3 \cos^{3} (x)$ в виде $\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $\cos^{2} (x)$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (\cos^{2} (x) \cos (x))}]$

Этап 1.1.2

Изменим порядок $3$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot 3 \cos (x)}]$

Этап 1.1.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot (3 \cos (x))}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sqrt{3 \cos (x)}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 \cos (x)}$ в виде ${(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 \cos (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Вынесем множитель $3$ из $3 \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) {(3 (\cos (x)))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Применим правило умножения к $3 (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) (3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (\cos^{1} (x) {\cos (x)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{1 + \frac{1}{2}}]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 7.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Этап 7.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Этап 7.3

Поскольку $3^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $3^{\frac{1}{2}} {\cos (x)}^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{3}{2}}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 11

Объединим числители над общим знаменателем.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 13

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 14

Объединим $\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 15

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Перенесем $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 15.2

Умножим $3^{\frac{1}{2}}$ на $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 15.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + 1} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 15.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 15.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{1 + 2}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 15.5

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 16

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \sin (x))$

Этап 17

Объединим $\frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ и $\sin (x)$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}} {\cos (x)}^{\frac{1}{2}} \sin (x)}{2}$