Математический анализ Примеры

$y = 5 x (x^{2} + 6)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x (x^{2} + 6))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x (x^{2} + 6)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x (x^{2} + 6)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 6$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [x^{2} + 6] + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$5 (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x (2 x + \frac{d}{d x} [6]) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x (2 x + 0) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3.4

Добавим $2 x$ и $0$ .

$5 (x (2 x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (2 (x^{1} x) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (2 x^{1 + 1} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (2 x^{2} + (x^{2} + 6) \cdot 1)$

Этап 3.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $x^{2} + 6$ на $1$ .

$5 (2 x^{2} + x^{2} + 6)$

Этап 3.9.2

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$5 (3 x^{2} + 6)$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (3 x^{2}) + 5 \cdot 6$

Этап 3.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2} + 5 \cdot 6$

Этап 3.10.2.2

Умножим $5$ на $6$ .

$15 x^{2} + 30$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = 15 x^{2} + 30$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 15 x^{2} + 30$