Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

Этап 1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $9$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

Этап 1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Этап 1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Этап 1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

Этап 1.2

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

Этап 2.1.2.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$3 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 2.3.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

Этап 2.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ .

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Этап 3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Этап 3.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (0)$

Этап 5.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$- 3 \cdot 1^{2}$

Этап 5.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 \cdot 1$

Этап 5.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$- 3$