Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{2} (3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} - 4 x - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - 4 x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} - \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - \int_{1}^{2} \frac{2}{x^{2}} d x$

Этап 10

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - (2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 11.2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 11.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 11.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 13

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $2$ и в $1$ .

$3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 13.2

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $2$ и в $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Этап 13.3

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $2$ и в $1$ .

$3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$3 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{8 - 1}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.4

Вычтем $1$ из $8$ .

$3 (\frac{7}{3}) - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.5

Объединим $3$ и $\frac{7}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.6

Умножим $3$ на $7$ .

$\frac{21}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.7

Сократим общий множитель $21$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.1

Вынесем множитель $3$ из $21$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 7}{3 (1)} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.7.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$7 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$7 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.9

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.9.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.9.2.2

Сократим общий множитель.

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.9.2.3

Перепишем это выражение.

$7 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.9.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$7 - 4 (2 - \frac{1^{2}}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.10

Единица в любой степени равна единице.

$7 - 4 (2 - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.11

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.12

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$7 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$7 - 4 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.14.1

Умножим $2$ на $2$ .

$7 - 4 \frac{4 - 1}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.14.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$7 - 4 (\frac{3}{2}) - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.15

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{2}$ .

$7 + \frac{- 4 \cdot 3}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.16

Умножим $- 4$ на $3$ .

$7 + \frac{- 12}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.17

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.17.2.2

Сократим общий множитель.

$7 + \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.17.2.3

Перепишем это выражение.

$7 + \frac{- 6}{1} - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.17.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$7 - 6 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.18

Вычтем $6$ из $7$ .

$1 - 2 ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Этап 13.4.19

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Этап 13.4.20

Единица в любой степени равна единице.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + 1)$

Этап 13.4.21

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$1 - 2 (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Этап 13.4.22

Объединим числители над общим знаменателем.

$1 - 2 \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 13.4.23

Добавим $- 1$ и $2$ .

$1 - 2 (\frac{1}{2})$

Этап 13.4.24

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$1 + \frac{- 2}{2}$

Этап 13.4.25

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.25.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Этап 13.4.25.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.25.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Этап 13.4.25.2.2

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Этап 13.4.25.2.3

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{- 1}{1}$

Этап 13.4.25.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$1 - 1$

Этап 13.4.26

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 14