Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Этап 3

Пусть $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Тогда $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 3.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.4.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.4.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.1.4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 3.1.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 3.1.4.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 3.1.4.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 5

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ в виде $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Этап 6.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Этап 6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$