Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 - \frac{2}{x^{3}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 4 - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 d x + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 x + C + \int - \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$4 x + C - \int \frac{2}{x^{3}} d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$4 x + C - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x + C - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 7.2

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$4 x + C - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x + C - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 7.3.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$4 x + C - 2 \int x^{- 3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$4 x + C - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 x + C - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 9.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + C - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 9.2

Упростим.

$4 x - \frac{- 1}{x^{2}} + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x - - \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 9.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x + 1 \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 9.3.3

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $1$ .

$4 x + \frac{1}{x^{2}} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 4 - \frac{2}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{1}{x^{2}} + C$