Математический анализ Примеры

${(x - 1)}^{2} \sin (x)$

Этап 1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x - 1) \sin (x)]$

Этап 2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 1) - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) \sin (x)]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Этап 3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) \sin (x)]$

Этап 3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - x - x + 1) \sin (x)]$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 2 x + 1) \sin (x)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 5

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2 + 0)$

Этап 6.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$(x^{2} - 2 x + 1) \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x - 2)$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 1 \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

Этап 7.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) + \sin (x) \cdot - 2$

Этап 7.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sin (x)$ .

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + \cos (x) + \sin (x) (2 x) - 2 \sin (x)$

Этап 7.4

Изменим порядок членов.

$x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) - 2 \sin (x)$