Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{1 + x^{2}}$

Этап 1

Запишем $\frac{d x}{1 + x^{2}}$ в виде функции.

$f (d) = \frac{d x}{1 + x^{2}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (d)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (d)$ .

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (d) = \int \frac{d x}{1 + x^{2}} d \cdot d$

Этап 4

Поскольку $\frac{x}{1 + x^{2}}$ — константа по отношению к $d$ , вынесем $\frac{x}{1 + x^{2}}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x}{1 + x^{2}} \int d d \cdot d$

Этап 5

По правилу степени интеграл $d$ по $d$ имеет вид $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{x}{1 + x^{2}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ в виде $\frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{2} d^{2} + C$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{2} d^{2} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{x}{1 + x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{(1 + x^{2}) \cdot 2} d^{2} + C$

Этап 6.2.2

Перенесем $2$ влево от $1 + x^{2}$ .

$\frac{x}{2 \cdot (1 + x^{2})} d^{2} + C$

Этап 6.2.3

Объединим $\frac{x}{2 (1 + x^{2})}$ и $d^{2}$ .

$\frac{x d^{2}}{2 (1 + x^{2})} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (d) = \frac{d x}{1 + x^{2}}$ .

$F (d) =$ $\frac{x d^{2}}{2 (1 + x^{2})} + C$