Математический анализ Примеры

$\int_{- 2}^{1} (x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 6) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{- 2}^{1} x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} + 6 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 2}^{1} x^{4} d x + \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} x^{3} d x + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} + \int_{- 2}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 \int_{- 2}^{1} x^{2} d x + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + \int_{- 2}^{1} 6 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 6 x]_{- 2}^{1}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{1}$ и $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1}) + 6 x]_{- 2}^{1}$

Этап 9.1.2

Объединим $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{1}$ и $6 x]_{- 2}^{1}$ .

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + 6 x]_{- 2}^{1} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

Этап 9.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Найдем значение $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{4} x^{4} + 6 x$ в $1$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{1})$

Этап 9.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $- 2$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 1^{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1) - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.2

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot 1^{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} \cdot 1 + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.4

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.5

Чтобы записать $\frac{1}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.6

Чтобы записать $\frac{1}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.7.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.7.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.7.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.7.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{4}{20} + \frac{5}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 5}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.9

Добавим $4$ и $5$ .

$\frac{9}{20} + 6 \cdot 1 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.10

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{9}{20} + 6 - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.11

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} + 6 \cdot \frac{20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.12

Объединим $6$ и $\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} + \frac{6 \cdot 20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.13

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 + 6 \cdot 20}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.14

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.14.1

Умножим $6$ на $20$ .

$\frac{9 + 120}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.14.2

Добавим $9$ и $120$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{1}{5} {(- 2)}^{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.15

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{1}{5} \cdot - 32 + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.16

Объединим $\frac{1}{5}$ и $- 32$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32}{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.17

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{1}{4} {(- 2)}^{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.18

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{1}{4} \cdot 16 + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.19

Объединим $\frac{1}{4}$ и $16$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{16}{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.20

Сократим общий множитель $16$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.20.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.20.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.20.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.20.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.20.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4}{1} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.20.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + 4 + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.21

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + 4 \cdot \frac{5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.22

Объединим $4$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{32}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32 + 4 \cdot 5}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.24

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.24.1

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{- 32 + 20}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.24.2

Добавим $- 32$ и $20$ .

$\frac{129}{20} - (\frac{- 12}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.25

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} + 6 \cdot - 2) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.26

Умножим $6$ на $- 2$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} - 12) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.27

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} - 12 \cdot \frac{5}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.28

Объединим $- 12$ и $\frac{5}{5}$ .

$\frac{129}{20} - (- \frac{12}{5} + \frac{- 12 \cdot 5}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{129}{20} - \frac{- 12 - 12 \cdot 5}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.30

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.30.1

Умножим $- 12$ на $5$ .

$\frac{129}{20} - \frac{- 12 - 60}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.30.2

Вычтем $60$ из $- 12$ .

$\frac{129}{20} - \frac{- 72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.31

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{129}{20} - - \frac{72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.32

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{129}{20} + 1 (\frac{72}{5}) - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.33

Умножим $\frac{72}{5}$ на $1$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72}{5} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.34

Чтобы записать $\frac{72}{5}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72}{5} \cdot \frac{4}{4} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.35

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $20$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.35.1

Умножим $\frac{72}{5}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72 \cdot 4}{5 \cdot 4} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.35.2

Умножим $5$ на $4$ .

$\frac{129}{20} + \frac{72 \cdot 4}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.36

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{129 + 72 \cdot 4}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.37

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.37.1

Умножим $72$ на $4$ .

$\frac{129 + 288}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.37.2

Добавим $129$ и $288$ .

$\frac{417}{20} - 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.38

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

Этап 9.2.3.39

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - \frac{- 8}{3})$

Этап 9.2.3.40

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} - - \frac{8}{3})$

Этап 9.2.3.41

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{8}{3}))$

Этап 9.2.3.42

Умножим $\frac{8}{3}$ на $1$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

Этап 9.2.3.43

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{417}{20} - 4 \frac{1 + 8}{3}$

Этап 9.2.3.44

Добавим $1$ и $8$ .

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{9}{3})$

Этап 9.2.3.45

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.45.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3}$

Этап 9.2.3.45.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.45.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Этап 9.2.3.45.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{417}{20} - 4 \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Этап 9.2.3.45.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{417}{20} - 4 (\frac{3}{1})$

Этап 9.2.3.45.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$\frac{417}{20} - 4 \cdot 3$

Этап 9.2.3.46

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{417}{20} - 12$

Этап 9.2.3.47

Чтобы записать $- 12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{20}{20}$ .

$\frac{417}{20} - 12 \cdot \frac{20}{20}$

Этап 9.2.3.48

Объединим $- 12$ и $\frac{20}{20}$ .

$\frac{417}{20} + \frac{- 12 \cdot 20}{20}$

Этап 9.2.3.49

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{417 - 12 \cdot 20}{20}$

Этап 9.2.3.50

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.50.1

Умножим $- 12$ на $20$ .

$\frac{417 - 240}{20}$

Этап 9.2.3.50.2

Вычтем $240$ из $417$ .

$\frac{177}{20}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{177}{20}$

Десятичная форма:

$8.85$

Форма смешанных чисел:

$8 \frac{17}{20}$

Этап 11