Математический анализ Примеры

$f (t) = t^{- 5}$ ;, $(\frac{1}{2}, 32)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $t = \frac{1}{2}$ и $y = 32$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 5$ .

$- 5 t^{- 6}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{t^{6}}$

Этап 1.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{t^{6}}$ .

$\frac{- 5}{t^{6}}$

Этап 1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{t^{6}}$

Этап 1.3

Найдем производную в $t = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{{(\frac{1}{2})}^{6}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{5}{\frac{1^{6}}{2^{6}}}$

Этап 1.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{5}{\frac{1}{2^{6}}}$

Этап 1.4.1.3

Возведем $2$ в степень $6$ .

$- \frac{5}{\frac{1}{64}}$

Этап 1.4.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- (5 \cdot 64)$

Этап 1.4.3

Умножим $- (5 \cdot 64)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $5$ на $64$ .

$- 1 \cdot 320$

Этап 1.4.3.2

Умножим $- 1$ на $320$ .

$- 320$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 320$ и координаты заданной точки $(\frac{1}{2}, 32)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (32) = - 320 \cdot (x - (\frac{1}{2}))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 32 = - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим $- 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Перепишем.

$y - 32 = 0 + 0 - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 32 = - 320 \cdot (x - \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 32 = - 320 x - 320 (- \frac{1}{2})$

Этап 2.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$y - 32 = - 320 x - 320 (\frac{- 1}{2})$

Этап 2.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 320$ .

$y - 32 = - 320 x + 2 (- 160) \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.4.3

Сократим общий множитель.

$y - 32 = - 320 x + 2 \cdot - 160 \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.1.4.4

Перепишем это выражение.

$y - 32 = - 320 x - 160 \cdot - 1$

Этап 2.3.1.5

Умножим $- 160$ на $- 1$ .

$y - 32 = - 320 x + 160$

Этап 2.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Добавим $32$ к обеим частям уравнения.

$y = - 320 x + 160 + 32$

Этап 2.3.2.2

Добавим $160$ и $32$ .

$y = - 320 x + 192$

Этап 3