Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Этап 3

Поскольку $2 k$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 k$ из-под знака интеграла.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Этап 5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Этап 8.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Найдем значение $\frac{x^{2}}{2}$ в $k$ и в $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Этап 8.2.2

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $k$ и в $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.4

Добавим $\frac{k^{2}}{2}$ и $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.5

Объединим $2$ и $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.6

Объединим $k$ и $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.7

Возведем $k$ в степень $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.9

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.10

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.10.2

Разделим $k^{3}$ на $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Этап 8.2.3.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Этап 8.2.3.12

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.12.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Этап 8.2.3.12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.12.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.12.2.2

Сократим общий множитель.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Этап 8.2.3.12.2.3

Перепишем это выражение.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Этап 8.2.3.12.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

Этап 8.2.3.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

Этап 8.2.3.14

Добавим $\frac{k^{3}}{3}$ и $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Этап 8.2.3.15

Чтобы записать $k^{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Этап 8.2.3.16

Объединим $k^{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Этап 8.2.3.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

Этап 8.2.3.18

Перенесем $3$ влево от $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

Этап 8.2.3.19

Вычтем $k^{3}$ из $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{3} k^{3}$

Этап 9

Объединим $\frac{2}{3}$ и $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$