Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x \cdot \ln (x)}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{x \cdot \ln (x)}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (x)}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{x \cdot \ln (x)} d x$

Этап 4

Пусть $u = \ln (x)$ . Тогда $d u = \frac{1}{x} d x$ , следовательно $x d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \ln (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (x)$ .

$\ln (| \ln (x) |) + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{x \cdot \ln (x)}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \ln (x) |) + C$