Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = 4 - 4 x^{2}$ . Тогда $d u = - 8 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 4 - 4 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $4 - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$0 - 8 x$

Этап 1.1.4

Вычтем $8 x$ из $0$ .

$- 8 x$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 4$ на $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $4$ и $0$ .

$u_{lower} = 4$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

Этап 1.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Этап 1.5.2

Вычтем $4$ из $4$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Этап 2.3

Перенесем $8$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 5.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 5.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 5.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $2 u^{\frac{1}{2}}$ в $0$ и в $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.4

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.5

Умножим $2$ на $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 7.2.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 7.2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Этап 7.2.8.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

Этап 7.2.9

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

Этап 7.2.10

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

Этап 7.2.11

Вычтем $4$ из $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

Этап 7.2.12

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

Этап 7.2.13

Объединим $4$ и $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

Этап 7.2.14

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Этап 7.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.14.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Этап 7.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Этап 7.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$

Этап 9