Математический анализ Примеры

$y \sqrt{y^{3} + 1} = x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{y^{3} + 1}$ в виде ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = x$

Этап 2

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x)$

Этап 3

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = y$ и $g (x) = {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = y^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y^{3} + 1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y (\frac{1}{2} {(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.2.2

Перенесем ${(y^{3} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.2.3

Объединим $\frac{1}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y^{3} + 1] + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.7.3

По правилу суммы производная $y^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.9

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [1]) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y' + 0) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Добавим $3 y^{2} y'$ и $0$ .

$\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11.2

Объединим $3$ и $\frac{y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (y^{2} y') + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.11.3

Объединим $y^{2}$ и $\frac{3 y}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{2} (3 y)}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12

Умножим $y^{2}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y \cdot y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12.2

Умножим $y$ на $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y^{1} y^{2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{y^{1 + 2} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.12.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.13

Объединим $\frac{y^{3} \cdot 3}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $y'$ .

$\frac{y^{3} \cdot 3 y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.14

Перенесем $3$ влево от $y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Этап 3.15

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y'$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1$

Этап 5

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$

Этап 6

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}, 1, 1$

Этап 6.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2

Каждый член в $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ умножим на $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим каждый член $\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' = 1$ на $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3 y^{3} y'}{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.3

Сократим общий множитель ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{3} y'}{{(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$3 y^{3} y' + {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} y' {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.5

Умножим ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.5.1

Перенесем ${(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 y^{3} y' + 2 ({(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{2}{2}} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.5.5

Разделим $2$ на $2$ .

$3 y^{3} y' + 2 {(y^{3} + 1)}^{1} y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.6

Упростим $2 {(y^{3} + 1)}^{1} y'$ .

$3 y^{3} y' + 2 (y^{3} + 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2 \cdot 1) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$3 y^{3} y' + (2 y^{3} + 2) y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y^{3} y' + 2 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.2.2

Добавим $3 y^{3} y'$ и $2 y^{3} y'$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 1 (2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$5 y^{3} y' + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $5 y^{3} y' + 2 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $y'$ из $5 y^{3} y'$ .

$y' (5 y^{3}) + 2 y' = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.1.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y'$ .

$y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2 = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.1.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (5 y^{3}) + y' \cdot 2$ .

$y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6.3.2

Разделим каждый член $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $5 y^{3} + 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Разделим каждый член $y' (5 y^{3} + 2) = 2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $5 y^{3} + 2$ .

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Сократим общий множитель $5 y^{3} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (5 y^{3} + 2)}{5 y^{3} + 2} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$

Этап 7

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y^{3} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5 y^{3} + 2}$