Математический анализ Примеры

$e^{x} + e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.2

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 2.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Этап 2.3.9

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $e^{x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.2

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.1.2

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 4.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 4.1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $e^{x} - e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $e^{x} - e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Этап 5.2

Перенесем $- e^{- x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$e^{x} = e^{- x}$

Этап 5.3

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$x = - x$

Этап 5.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x + x = 0$

Этап 5.4.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x = 0$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $2 x = 0$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$e^{0} + e^{- (0)}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 + e^{- (0)}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$1 + e^{0}$

Этап 9.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 + 1$

Этап 9.2

Добавим $1$ и $1$ .

$2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = e^{0} + e^{- (0)}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1 + e^{- (0)}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 1 + e^{0}$

Этап 11.2.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Этап 11.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$f (0) = 2$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$(0, 2)$ — локальный минимум

Этап 13