Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x^{2}}{2 y}$ по $y$ равна $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{x^{2}}{2}$ и $y^{- 2}$ .

$- \frac{x^{2} y^{- 2}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 2.5

Перенесем $y^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{3}{x}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{3 y^{2}}{x}$ по $y$ равна $\frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} (2 y)$

Этап 3.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{2 \cdot 3}{x} y$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6}{x} y$

Этап 3.5

Объединим $\frac{6}{x}$ и $y$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6 y}{x}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{6 y}{x} - \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$