Математический анализ Примеры

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}, x \neq 2 \\ 3, x = 2 \end{cases}$

Этап 1

Найдем предел $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$ , когда $x$ стремится к $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - x - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.3

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $2$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} - lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{2} - 2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{4 - 2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 - 2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.5.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.2.5.3

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Этап 1.1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Этап 1.1.1.3.1.2

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Этап 1.1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Этап 1.1.1.3.3.2

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.6

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Этап 1.1.3.7

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Этап 1.1.3.9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1 + 0}$

Этап 1.1.3.10

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{1}$

Этап 1.1.4

Разделим $2 x - 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - 1$

Этап 1.2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 1$

Этап 1.2.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 1$

Этап 1.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$2 \cdot 2 - 1 \cdot 1$

Этап 1.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 - 1 \cdot 1$

Этап 1.4.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 - 1$

Этап 1.4.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$3$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$3$

Этап 3

Поскольку предел $\frac{x^{2} - x - 2}{x - 2}$ , когда $x$ стремится к $2$ , равен значению функции в точке $x = 2$ , функция непрерывна в точке $x = 2$ .

Непрерывные

Этап 4