Математический анализ Примеры

$3 y^{3} + 4 x^{3} + 5 y^{2} + 5 y + 2 x = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (3 y^{3} + 4 x^{3} + 5 y^{2} + 5 y + 2 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 y^{3} + 4 x^{3} + 5 y^{2} + 5 y + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 y^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $3$ .

$9 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 y^{2} y' + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 y^{2} y' + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 5 (2 y y') + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $5$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 y$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + 2 \cdot 1$

Этап 2.6.3

Умножим $2$ на $1$ .

$9 y^{2} y' + 12 x^{2} + 10 y y' + 5 y' + 2$

Этап 2.7

Изменим порядок членов.

$12 x^{2} + 9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' + 2$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$12 x^{2} + 9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' + 2 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $12 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' + 2 = - 12 x^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y' = - 12 x^{2} - 2$

Этап 5.2

Вынесем множитель $y'$ из $9 y^{2} y' + 10 y y' + 5 y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $y'$ из $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) + 10 y y' + 5 y' = - 12 x^{2} - 2$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $y'$ из $10 y y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' (10 y) + 5 y' = - 12 x^{2} - 2$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $y'$ из $5 y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' (10 y) + y' \cdot 5 = - 12 x^{2} - 2$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $y'$ из $y' (9 y^{2}) + y' (10 y)$ .

$y' (9 y^{2} + 10 y) + y' \cdot 5 = - 12 x^{2} - 2$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $y'$ из $y' (9 y^{2} + 10 y) + y' \cdot 5$ .

$y' (9 y^{2} + 10 y + 5) = - 12 x^{2} - 2$

Этап 5.3

Разделим каждый член $y' (9 y^{2} + 10 y + 5) = - 12 x^{2} - 2$ на $9 y^{2} + 10 y + 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $y' (9 y^{2} + 10 y + 5) = - 12 x^{2} - 2$ на $9 y^{2} + 10 y + 5$ .

$\frac{y' (9 y^{2} + 10 y + 5)}{9 y^{2} + 10 y + 5} = \frac{- 12 x^{2}}{9 y^{2} + 10 y + 5} + \frac{- 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $9 y^{2} + 10 y + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (9 y^{2} + 10 y + 5)}{9 y^{2} + 10 y + 5} = \frac{- 12 x^{2}}{9 y^{2} + 10 y + 5} + \frac{- 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{9 y^{2} + 10 y + 5} + \frac{- 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 12 x^{2} - 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x^{2} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2}) - 2}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 6 x^{2} - 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x^{2}$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2}) - 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2}) - 1 (1))}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = \frac{2 (- (6 x^{2} + 1))}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.6.1

Перепишем $- (6 x^{2} + 1)$ в виде $- 1 (6 x^{2} + 1)$ .

$y' = \frac{2 (- 1 (6 x^{2} + 1))}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 5.3.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{2 (6 x^{2} + 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (6 x^{2} + 1)}{9 y^{2} + 10 y + 5}$