Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} (3 \cos (x^{2} + 5))$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x^{2} + 5)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 5)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x^{2} + 5)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{2} + 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 5$ .

$3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 5$ .

$3 (- \sin (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 (\sin (x^{2} + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 5])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$- 3 \sin (x^{2} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 \sin (x^{2} + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 3.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 \sin (x^{2} + 5) (2 x + 0)$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 3 \sin (x^{2} + 5) (2 x)$

Этап 3.5.2

Умножим $2$ на $- 3$ .

$- 6 \sin (x^{2} + 5) x$

Этап 3.5.3

Изменим порядок множителей в $- 6 \sin (x^{2} + 5) x$ .

$- 6 x \sin (x^{2} + 5)$