Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{4}$