Математический анализ Примеры

$y = \csc^{4} (2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \csc (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (2 x)$ .

$4 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x) (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4

Возведем $\csc (2 x)$ в степень $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x) \csc^{3} (2 x)) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 {\csc (2 x)}^{1 + 3} (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 6

Добавим $1$ и $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Этап 10

Умножим $- 8$ на $1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x)$