Математический анализ Примеры

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

Этап 1

Перепишем $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ в виде произведения.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Этап 2

Запишем $\cos (m x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим $\cos (m x)$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Этап 3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (n x)}$ в $\csc (n x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (m x)$ и $g (x) = \csc (n x)$ .

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = n x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $n x$ .

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Этап 5.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $n x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $n$ является константой относительно $x$ , производная $n x$ по $x$ равна $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Этап 6.3

Умножим $n$ на $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

Этап 7.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $m$ является константой относительно $x$ , производная $m x$ по $x$ равна $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

Этап 8.3

Умножим $m$ на $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Изменим порядок членов.

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выразим $\cot (n x)$ через синусы и косинусы.

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.2

Умножим $- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Объединим $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ и $n$ .

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.2.2

Объединим $\cos (m x)$ и $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.3

Выразим $\csc (n x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.4

Умножим $- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sin (n x)}$ на $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.4.2

Возведем $\sin (n x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.4.3

Возведем $\sin (n x)$ в степень $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Этап 9.2.5

Выразим $\csc (n x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Этап 9.2.6

Объединим $\frac{1}{\sin (n x)}$ и $m$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Этап 9.2.7

Объединим $\sin (m x)$ и $\frac{m}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $\sin (n x)$ из $\sin^{2} (n x)$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.2

Разделим дроби.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.3

Перепишем $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ в виде произведения.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.4

Запишем $\cos (m x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.5.1

Разделим $\cos (m x)$ на $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.5.2

Переведем $\frac{1}{\sin (n x)}$ в $\csc (n x)$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.6

Разделим дроби.

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.7

Переведем $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ в $\cot (n x)$ .

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.8

Разделим $n$ на $1$ .

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Этап 9.3.9

Разделим дроби.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

Этап 9.3.10

Перепишем $\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ в виде произведения.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Этап 9.3.11

Запишем $\sin (m x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

Этап 9.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.12.1

Разделим $\sin (m x)$ на $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Этап 9.3.12.2

Переведем $\frac{1}{\sin (n x)}$ в $\csc (n x)$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

Этап 9.3.13

Разделим $m$ на $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

Этап 9.4

Изменим порядок множителей в $- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$