Математический анализ Примеры

$x + \cos (x + y) = 0$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x + \cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x + \cos (x + y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$1 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.2.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + y')$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$

Этап 3

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1 = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $- \sin (x + y) (1 + y') + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Этап 5.1.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Этап 5.1.1.2

Изменим порядок множителей в $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + 1 = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $\sin (x + y)$ к обеим частям уравнения.

$- y' \sin (x + y) + 1 = \sin (x + y)$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ на $- \sin (x + y)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ на $- \sin (x + y)$ .

$\frac{- y' \sin (x + y)}{- \sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $\sin (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $\sin (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{1}{- 1} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.3.1.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y' = - 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Этап 5.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y' = - 1 + \frac{1}{\sin (x + y)}$

Этап 5.3.3.1.4

Переведем $\frac{1}{\sin (x + y)}$ в $\csc (x + y)$ .

$y' = - 1 + \csc (x + y)$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1 + \csc (x + y)$