Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{\sqrt{x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{d x}{\sqrt{x}}$ в виде функции.

$f (d) = \frac{d x}{\sqrt{x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (d)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (d)$ .

$F (d) = \int f (d) d \cdot d$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (d) = \int \frac{d x}{\sqrt{x}} d \cdot d$

Этап 4

Поскольку $\frac{x}{\sqrt{x}}$ — константа по отношению к $d$ , вынесем $\frac{x}{\sqrt{x}}$ из-под знака интеграла.

$\frac{x}{\sqrt{x}} \int d d \cdot d$

Этап 5

По правилу степени интеграл $d$ по $d$ имеет вид $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{x}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Этап 6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{x}{\sqrt{x}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ в виде $\frac{x \sqrt{x}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$ .

$\frac{x \sqrt{x}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.2

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Умножим $x$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1} x^{\frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + \frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{2 + 1}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.2.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.3

Перенесем $x^{1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{3}{2}} x^{- 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.4

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- 1}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x^{\frac{3 - 2}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.4.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Этап 6.2.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $d^{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d^{2}}{2} + C$

Этап 6.2.6

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{d^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$

Этап 7

Ответ ― первообразная функции $f (d) = \frac{d x}{\sqrt{x}}$ .

$F (d) =$ $\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$