Математический анализ Примеры

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Этап 2

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разобьем дробь $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ на две дроби.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Этап 2.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

Этап 2.1.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Этап 2.1.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Этап 2.1.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $\frac{y}{x}$ из $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

Этап 2.2.2

Изменим порядок $\frac{y}{x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

Этап 2.3

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $f (\frac{y}{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{x}{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $\frac{x}{y}$ из $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 2.3.1.2

Изменим порядок $\frac{x}{y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{x}{y}$ в виде ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Этап 3

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Этап 4

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 5

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 6

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Этап 7

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Этап 7.1.1.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Этап 7.1.1.1.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

Этап 7.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

Этап 7.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 7.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 7.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 7.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.2

Чтобы записать $- V$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.3.1

Объединим $- V$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1.1

Вынесем множитель $V$ из $V - V \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Вынесем множитель $V$ из $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Вынесем множитель $V$ из $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Вынесем множитель $V$ из $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.4.1

Чтобы записать $- \frac{V}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.4.2

Умножим $\frac{V}{2}$ на $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.3.3.4.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.4.4.2

Перепишем $V \cdot V$ в виде $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.4.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 7.1.1.3.3.6

Умножим $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Этап 7.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 7.1.3

Умножим обе части на $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 7.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Умножим $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Этап 7.1.4.2

Сократим общий множитель $2 V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.1

Вынесем множитель $2 V$ из $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Этап 7.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Этап 7.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Этап 7.1.4.3

Сократим общий множитель $(1 + V) (1 - V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Этап 7.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 7.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.2

Пусть $u = (1 + V) (1 - V)$ . Тогда $d u = - 2 V d V$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Пусть $u = (1 + V) (1 - V)$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Дифференцируем $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Этап 7.2.2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ имеет вид $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ , где $f (V) = 1 + V$ и $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.3.1

По правилу суммы производная $1 - V$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $V$ , производная $- V$ по $V$ равна $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.6.3

Перепишем $- 1 (1 + V)$ в виде $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.7

По правилу суммы производная $1 + V$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Этап 7.2.2.2.1.3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Этап 7.2.2.2.1.3.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Этап 7.2.2.2.1.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Этап 7.2.2.2.1.3.11

Умножим $1 - V$ на $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Этап 7.2.2.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Этап 7.2.2.2.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.4.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Этап 7.2.2.2.1.4.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$- V + 0 - V$

Этап 7.2.2.2.1.4.2.3

Добавим $- V$ и $0$ .

$- V - V$

Этап 7.2.2.2.1.4.2.4

Вычтем $V$ из $- V$ .

$- 2 V$

Этап 7.2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.3.3

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.9

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.2.10

Заменим все вхождения $u$ на $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 7.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 7.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Этап 7.3

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Развернем $(1 + | x |) (1 - | x |)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2.1.2

Умножим $- | x |$ на $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2.1.3

Умножим $| x |$ на $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2.1.5

Умножим $| x |$ на $| x |$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.5.1

Перенесем $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2.1.5.2

Умножим $| x |$ на $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2.2

Добавим $- | x |$ и $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.2.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Этап 7.3.3

Добавим $\ln (| x |)$ к обеим частям уравнения.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Этап 7.3.4

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 7.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 7.3.4.2.2

Разделим $\ln (| 1 - V^{2} |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 7.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 7.3.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Этап 7.3.4.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Этап 7.3.4.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Этап 7.3.5

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Этап 7.3.6

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Этап 7.3.7

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Этап 7.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Этап 7.3.9

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Этап 7.3.10

Чтобы решить относительно $V$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Этап 7.3.11

Перепишем $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Этап 7.3.12

Решим относительно $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.1

Перепишем уравнение в виде $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Этап 7.3.12.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Этап 7.3.12.3

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Этап 7.3.12.4

Разделим каждый член $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ на $- x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.4.1

Разделим каждый член $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ на $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 7.3.12.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 7.3.12.4.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 7.3.12.4.2.2.2

Разделим $V^{2}$ на $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 7.3.12.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.4.3.1.1

Упростим $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Этап 7.3.12.4.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 7.3.12.4.3.1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.4.3.1.3.1

Сократим общий множитель.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Этап 7.3.12.4.3.1.3.2

Перепишем это выражение.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Этап 7.3.12.5

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Этап 7.3.12.6

Упростим $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.6.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Этап 7.3.12.6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Этап 7.3.12.6.3

Перепишем $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ в виде $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Этап 7.3.12.6.4

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Этап 7.3.12.6.5

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.6.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ на $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Этап 7.3.12.6.5.2

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Этап 7.3.12.6.5.3

Возведем $\sqrt{x}$ в степень $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Этап 7.3.12.6.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.12.6.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Этап 7.3.12.6.5.6

Перепишем ${\sqrt{x}}^{2}$ в виде $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.6.5.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.12.6.5.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.12.6.5.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.12.6.5.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.12.6.5.6.4.1

Сократим общий множитель.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.12.6.5.6.4.2

Перепишем это выражение.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Этап 7.3.12.6.5.6.5

Упростим.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Этап 7.3.12.6.6

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Этап 7.3.12.6.7

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Этап 7.4

Упростим постоянную интегрирования.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Этап 8

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Этап 9

Решим $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим обе части на $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Этап 9.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Этап 9.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$