Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ и $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4 + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $12 x^{2} - 24 x + 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 12 x^{2} + 4 x + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 4 x + 4 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 x + 4 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x) + 4 (1) = 0$

Этап 5.2.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 (x)$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1) = 0$

Этап 5.2.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 3 x^{2} + x) + 4 (1)$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Этап 5.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1$

Этап 5.2.2.1.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Этап 5.2.2.1.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 3 \cdot 1^{2} + 1 + 1$

Этап 5.2.2.1.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 1 + 1$

Этап 5.2.2.1.3.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$1 - 3 + 1 + 1$

Этап 5.2.2.1.3.5

Вычтем $3$ из $1$ .

$- 2 + 1 + 1$

Этап 5.2.2.1.3.6

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1 + 1$

Этап 5.2.2.1.3.7

Добавим $- 1$ и $1$ .

$0$

Этап 5.2.2.1.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + x + 1}{x - 1}$

Этап 5.2.2.1.5

Разделим $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$x$

$1$

Этап 5.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$

Этап 5.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Этап 5.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 5.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

Этап 5.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Этап 5.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x^{2} + 2 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Этап 5.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$

Этап 5.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Этап 5.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

Этап 5.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

Этап 5.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 1$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

Этап 5.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

Этап 5.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 2 x - 1$

Этап 5.2.2.1.6

Запишем $x^{3} - 3 x^{2} + x + 1$ в виде набора множителей.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.5

Приравняем $x^{2} - 2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x^{2} - 2 x - 1$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.3

Добавим $4$ и $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.4

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.5.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 1) (x^{2} - 2 x - 1) = 0$ верно.

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 4$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 24 \cdot 1 + 4$

Этап 9.1.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$12 - 24 + 4$

Этап 9.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $24$ из $12$ .

$- 12 + 4$

Этап 9.2.2

Добавим $- 12$ и $4$ .

$- 8$

Этап 10

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 4 {(1)}^{3} + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 4 \cdot 1 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 {(1)}^{2} + 4 (1) - 3$

Этап 11.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 4 + 2 \cdot 1 + 4 (1) - 3$

Этап 11.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 (1) - 3$

Этап 11.2.1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 4 + 2 + 4 - 3$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (1) = - 3 + 2 + 4 - 3$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 3$ и $2$ .

$f (1) = - 1 + 4 - 3$

Этап 11.2.2.3

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f (1) = 3 - 3$

Этап 11.2.2.4

Вычтем $3$ из $3$ .

$f (1) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1 + \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(1 + \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$12 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.2

Развернем $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$12 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.1.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.1.3

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$12 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$12 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.3.3

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$12 (3 + 2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$12 \cdot 3 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.5

Умножим $12$ на $3$ .

$36 + 12 (2 \sqrt{2}) - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.6

Умножим $2$ на $12$ .

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 (1 + \sqrt{2}) + 4$

Этап 13.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 \sqrt{2} + 4$

Этап 13.1.8

Умножим $- 24$ на $1$ .

$36 + 24 \sqrt{2} - 24 - 24 \sqrt{2} + 4$

Этап 13.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $24$ из $36$ .

$12 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2} + 4$

Этап 13.2.2

Добавим $12$ и $4$ .

$16 + 24 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2}$

Этап 13.2.3

Вычтем $24 \sqrt{2}$ из $24 \sqrt{2}$ .

$16 + 0$

Этап 13.2.4

Добавим $16$ и $0$ .

$16$

Этап 14

$x = 1 + \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1 + \sqrt{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 1 + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1 + \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = {(1 + \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.5

Умножим $6$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.6.5

Найдем экспоненту.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.7

Умножим $6$ на $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{3}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.8

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {\sqrt{2}}^{3} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{3}} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.10

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{8} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.11

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.11.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{4 (2)} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.11.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \sqrt{2^{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (2 \sqrt{2}) + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.13

Умножим $2$ на $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.14.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.2.14.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.14.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.2.15

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 1 + 4 \sqrt{2} + 12 + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 13 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.4

Добавим $13$ и $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 4 \sqrt{2} + 8 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.5

Добавим $4 \sqrt{2}$ и $8 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 {(1 + \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.6

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.4

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.5.5

Найдем экспоненту.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.6

Умножим $3$ на $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.8

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{8}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.9

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.7.9.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.9.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.7.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \sqrt{2} + 6 + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.8

Добавим $1$ и $6$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.9

Добавим $3 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 (7 + 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.11

Умножим $- 4$ на $7$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (5 \sqrt{2}) + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.12

Умножим $5$ на $- 4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 {(1 + \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.13

Перепишем ${(1 + \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 ((1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.14

Развернем $(1 + \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} (1 + \sqrt{2})) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.15.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.1.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.1.3

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{4}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.1.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.15.3

Добавим $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 (3 + 2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.17

Умножим $2$ на $3$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (2 \sqrt{2}) + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.18

Умножим $2$ на $2$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 (1 + \sqrt{2}) - 3$

Этап 15.2.1.19

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 15.2.1.20

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = 17 + 12 \sqrt{2} - 28 - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $28$ из $17$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 11 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 6 + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 15.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Добавим $- 11$ и $6$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 5 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 + 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 15.2.2.2.2

Добавим $- 5$ и $4$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 1 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 15.2.2.2.3

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 12 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Этап 15.2.2.3

Вычтем $20 \sqrt{2}$ из $12 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 8 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Этап 15.2.2.4

Добавим $- 8 \sqrt{2}$ и $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2}$

Этап 15.2.2.5

Добавим $- 4 \sqrt{2}$ и $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4 + 0$

Этап 15.2.2.6

Добавим $- 4$ и $0$ .

$f (1 + \sqrt{2}) = - 4$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 1 - \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(1 - \sqrt{2})}^{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Перепишем ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$12 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.2

Развернем $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$12 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.2

Умножим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.4

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.4.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.3.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{1}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.1.5.5

Найдем экспоненту.

$12 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$12 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.3.3

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$12 (3 - 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$12 \cdot 3 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.5

Умножим $12$ на $3$ .

$36 + 12 (- 2 \sqrt{2}) - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.6

Умножим $- 2$ на $12$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 (1 - \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 \cdot 1 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.8

Умножим $- 24$ на $1$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 - 24 (- \sqrt{2}) + 4$

Этап 17.1.9

Умножим $- 1$ на $- 24$ .

$36 - 24 \sqrt{2} - 24 + 24 \sqrt{2} + 4$

Этап 17.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Вычтем $24$ из $36$ .

$12 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2} + 4$

Этап 17.2.2

Добавим $12$ и $4$ .

$16 - 24 \sqrt{2} + 24 \sqrt{2}$

Этап 17.2.3

Добавим $- 24 \sqrt{2}$ и $24 \sqrt{2}$ .

$16 + 0$

Этап 17.2.4

Добавим $16$ и $0$ .

$16$

Этап 18

$x = 1 - \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1 - \sqrt{2}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 1 - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1 - \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = {(1 - \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 + 4 (- \sqrt{2}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.6

Умножим $6$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(- \sqrt{2})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.7

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.9

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {\sqrt{2}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.10

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.10.4.1

Сократим общий множитель.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.10.4.2

Перепишем это выражение.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.10.5

Найдем экспоненту.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.11

Умножим $6$ на $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.12

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 {(- \sqrt{2})}^{3} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.13

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- {\sqrt{2}}^{3}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.15

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{3}}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.16

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{8}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.17

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.17.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{4 (2)}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.17.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.18

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- (2 \sqrt{2})) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.19

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 + 4 (- 2 \sqrt{2}) + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.20

Умножим $- 2$ на $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.21

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.22

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.23

Умножим ${\sqrt{2}}^{4}$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.24.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.24.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.2.24.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.24.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 2^{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.2.25

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 1 - 4 \sqrt{2} + 12 - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 13 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} + 4 - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.4

Добавим $13$ и $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 4 \sqrt{2} - 8 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.5

Вычтем $8 \sqrt{2}$ из $- 4 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 {(1 - \sqrt{2})}^{3} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.6

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{2})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 + 3 (- \sqrt{2}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{2})}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.5

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(- \sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.8

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.9

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.9.5

Найдем экспоненту.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 3 \cdot 2 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.10

Умножим $3$ на $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- \sqrt{2})}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - {\sqrt{2}}^{3}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.13

Перепишем ${\sqrt{2}}^{3}$ в виде $\sqrt{2^{3}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{3}}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.14

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{8}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.15

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.7.15.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{4 (2)}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.15.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - (2 \sqrt{2})) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.7.17

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (1 - 3 \sqrt{2} + 6 - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.8

Добавим $1$ и $6$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.9

Вычтем $2 \sqrt{2}$ из $- 3 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 (7 - 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 4 \cdot 7 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.11

Умножим $- 4$ на $7$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 - 4 (- 5 \sqrt{2}) + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.12

Умножим $- 5$ на $- 4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 {(1 - \sqrt{2})}^{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.13

Перепишем ${(1 - \sqrt{2})}^{2}$ в виде $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 ((1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.14

Развернем $(1 - \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 (1 - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (1 - \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.14.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 + 1 (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.2

Умножим $- \sqrt{2}$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot 1 - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.4

Умножим $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.4.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.4.4

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {\sqrt{2}}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.5

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.15.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2^{\frac{2}{2}}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (1 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 2) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.15.3

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 (3 - 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.16

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.17

Умножим $2$ на $3$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 + 2 (- 2 \sqrt{2}) + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.18

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 (1 - \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.19

Применим свойство дистрибутивности.

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.20

Умножим $4$ на $1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 + 4 (- \sqrt{2}) - 3$

Этап 19.2.1.21

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = 17 - 12 \sqrt{2} - 28 + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 19.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $28$ из $17$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 11 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} + 6 - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 19.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.2.1

Добавим $- 11$ и $6$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 5 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} + 4 - 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 19.2.2.2.2

Добавим $- 5$ и $4$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 1 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 3$

Этап 19.2.2.2.3

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 - 12 \sqrt{2} + 20 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Этап 19.2.2.3

Добавим $- 12 \sqrt{2}$ и $20 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 8 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Этап 19.2.2.4

Вычтем $4 \sqrt{2}$ из $8 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 4 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}$

Этап 19.2.2.5

Вычтем $4 \sqrt{2}$ из $4 \sqrt{2}$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4 + 0$

Этап 19.2.2.6

Добавим $- 4$ и $0$ .

$f (1 - \sqrt{2}) = - 4$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x - 3$ .

$(1, 0)$ — локальный максимум

$(1 + \sqrt{2}, - 4)$ — локальный минимум

$(1 - \sqrt{2}, - 4)$ — локальный минимум

Этап 21