Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{a^{\frac{2}{5}}} x^{4} \sqrt{a^{2} - x^{5}} d x$

Этап 1

Пусть $u = a^{2} - x^{5}$ . Тогда $d u = - 5 x^{4} d x$ , следовательно $- \frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = a^{2} - x^{5}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $a^{2} - x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2} - x^{5}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $a^{2} - x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $a^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{5}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$0 - (5 x^{4})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$0 - 5 x^{4}$

Этап 1.1.4

Вычтем $5 x^{4}$ из $0$ .

$- 5 x^{4}$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = a^{2} - x^{5}$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0^{5}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = a^{2} - 0$

Этап 1.3.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = a^{2} + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $a^{2}$ и $0$ .

$u_{lower} = a^{2}$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = a^{2} - x^{5}$ .

$u_{upper} = a^{2} - {(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(a^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

Этап 1.5.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = a^{2} - a^{\frac{2}{5} \cdot 5}$

Этап 1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = a^{2} - a^{2}$

Этап 1.5.2

Вычтем $a^{2}$ из $a^{2}$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = a^{2}$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 5} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{5}) d u$

Этап 2.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int_{a^{2}}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{a^{2}}^{0} \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} \sqrt{u} d u)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{a^{2}}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{5} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{a^{2}}^{0}$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $0$ и в $a^{2}$ .

$- \frac{1}{5} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.5

Умножим $\frac{2}{3}$ на $0$ .

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} {(a^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 7.2.6

Перемножим экспоненты в ${(a^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 7.2.6.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{2 (\frac{3}{2})})$

Этап 7.2.6.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{5} (0 - \frac{2}{3} a^{3})$

Этап 7.2.7

Вычтем $\frac{2}{3} a^{3}$ из $0$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{2}{3} a^{3})$

Этап 7.2.8

Объединим $a^{3}$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{a^{3} \cdot 2}{3})$

Этап 7.2.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.10

Умножим $\frac{1}{5}$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{a^{3} \cdot 2}{3}$

Этап 7.2.11

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{a^{3} \cdot 2}{3}$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Этап 7.2.12

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{a^{3} \cdot 2}{15}$

Этап 7.2.13

Перенесем $2$ влево от $a^{3}$ .

$\frac{2 a^{3}}{15}$

Этап 8

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{15} a^{3}$

Этап 9

Объединим $\frac{2}{15}$ и $a^{3}$ .

$\frac{2 a^{3}}{15}$