Математический анализ Примеры

$\int_{- 6}^{0} | x^{3} + 27 | d x$

Этап 1

Этот интеграл не удалось вычислить с помощью замены переменной. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Разобьем интеграл в зависимости от того, где $x^{3} + 27$ принимает положительные и отрицательные значения.

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 6}^{- 3} - x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 6}^{- 3} x^{3} d x + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + \int_{- 6}^{- 3} - 27 d x + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} + 27 d x$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \int_{- 3}^{0} x^{3} d x + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + \int_{- 3}^{0} 27 d x$

Этап 10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 3}^{0}$ и $27 x]_{- 3}^{0}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{- 6}^{- 3}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Этап 11.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Найдем значение $\frac{x^{4}}{4}$ в $- 3$ и в $- 6$ .

$- ((\frac{{(- 3)}^{4}}{4}) - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 x]_{- 6}^{- 3} + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Этап 11.2.2

Найдем значение $- 27 x$ в $- 3$ и в $- 6$ .

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + \frac{1}{4} x^{4} + 27 x]_{- 3}^{0}$

Этап 11.2.3

Найдем значение $\frac{1}{4} x^{4} + 27 x$ в $0$ и в $- 3$ .

$- (\frac{{(- 3)}^{4}}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) + - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{{(- 6)}^{4}}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.2

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{1296}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.3

Сократим общий множитель $1296$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $1296$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 (1)}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{81}{4} - \frac{4 \cdot 324}{4 \cdot 1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{81}{4} - \frac{324}{1}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.3.2.4

Разделим $324$ на $1$ .

$- (\frac{81}{4} - 1 \cdot 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.4

Умножим $- 1$ на $324$ .

$- (\frac{81}{4} - 324) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.5

Чтобы записать $- 324$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{4} - 324 \cdot \frac{4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.6

Объединим $- 324$ и $\frac{4}{4}$ .

$- (\frac{81}{4} + \frac{- 324 \cdot 4}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{81 - 324 \cdot 4}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.8.1

Умножим $- 324$ на $4$ .

$- \frac{81 - 1296}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.8.2

Вычтем $1296$ из $81$ .

$- \frac{- 1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.10

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1215}{4}) - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.11

Умножим $\frac{1215}{4}$ на $1$ .

$\frac{1215}{4} - 27 \cdot - 3 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.12

Умножим $- 27$ на $- 3$ .

$\frac{1215}{4} + 81 + 27 \cdot - 6 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.13

Умножим $27$ на $- 6$ .

$\frac{1215}{4} + 81 - 162 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.14

Вычтем $162$ из $81$ .

$\frac{1215}{4} - 81 + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.15

Чтобы записать $- 81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1215}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.16

Объединим $- 81$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1215}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1215 - 81 \cdot 4}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.18

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.18.1

Умножим $- 81$ на $4$ .

$\frac{1215 - 324}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.18.2

Вычтем $324$ из $1215$ .

$\frac{891}{4} + (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 27 \cdot 0) - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.19

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{891}{4} + \frac{1}{4} \cdot 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.20

Умножим $\frac{1}{4}$ на $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 27 \cdot 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.21

Умножим $27$ на $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.22

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} {(- 3)}^{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.23

Возведем $- 3$ в степень $4$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{1}{4} \cdot 81 + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.24

Объединим $\frac{1}{4}$ и $81$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + 27 \cdot - 3)$

Этап 11.2.4.25

Умножим $27$ на $- 3$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81)$

Этап 11.2.4.26

Чтобы записать $- 81$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} - 81 \cdot \frac{4}{4})$

Этап 11.2.4.27

Объединим $- 81$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{891}{4} + 0 - (\frac{81}{4} + \frac{- 81 \cdot 4}{4})$

Этап 11.2.4.28

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 81 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.4.29

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.29.1

Умножим $- 81$ на $4$ .

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{81 - 324}{4}$

Этап 11.2.4.29.2

Вычтем $324$ из $81$ .

$\frac{891}{4} + 0 - \frac{- 243}{4}$

Этап 11.2.4.30

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{891}{4} + 0 - - \frac{243}{4}$

Этап 11.2.4.31

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{891}{4} + 0 + 1 (\frac{243}{4})$

Этап 11.2.4.32

Умножим $\frac{243}{4}$ на $1$ .

$\frac{891}{4} + 0 + \frac{243}{4}$

Этап 11.2.4.33

Добавим $0$ и $\frac{243}{4}$ .

$\frac{891}{4} + \frac{243}{4}$

Этап 11.2.4.34

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{891 + 243}{4}$

Этап 11.2.4.35

Добавим $891$ и $243$ .

$\frac{1134}{4}$

Этап 11.2.4.36

Сократим общий множитель $1134$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.36.1

Вынесем множитель $2$ из $1134$ .

$\frac{2 (567)}{4}$

Этап 11.2.4.36.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.36.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.36.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 567}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2.4.36.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{567}{2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{567}{2}$

Десятичная форма:

$283.5$

Форма смешанных чисел:

$283 \frac{1}{2}$

Этап 13