Математический анализ Примеры

$5 + x + x^{2} + x^{3}$

Этап 1

Запишем $5 + x + x^{2} + x^{3}$ в виде функции.

$f (x) = 5 + x + x^{2} + x^{3}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int 5 + x + x^{2} + x^{3} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 d x + \int x d x + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$5 x + C + \int x d x + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int x^{2} d x + \int x^{3} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{3} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 x + C + \frac{1}{2} x^{2} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 9

Упростим.

$5 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = 5 + x + x^{2} + x^{3}$ .

$F (x) =$ $5 x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4} + C$