Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{θ^{2}} \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{θ^{2}}$ и $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Этап 2

Пусть $u = \frac{1}{θ}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{θ^{2}} d θ$ , следовательно $- d u = \frac{1}{θ^{2}} d θ$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{1}{θ}$ . Найдем $\frac{d u}{d θ}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1}{θ}$ в виде $θ^{- 1}$ .

$\frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ имеет вид $n θ^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- θ^{- 2}$

Этап 2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{θ^{2}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - \cos (u) d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

$- \sin (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{θ}$ .

$- \sin (\frac{1}{θ}) + C$