Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Этап 1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - \frac{3}{3}}{3 x}$

Этап 1.1.2

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot 1}{3 x}$

Этап 1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{3 x}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1}{x}$

Этап 3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} - 1 \cdot \frac{x + 3}{x + 3}}{x}$

Этап 3.2

Объединим $- 1$ и $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x + 3} + \frac{- (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}}{x}$

Этап 4

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{3 - (x + 3)}{x + 3}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x}$

Этап 5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 3 - (x + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Этап 5.1.2

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Найдем предел $3 - (x + 3)$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - (0 + 3)}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Этап 5.1.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Этап 5.1.2.2.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 - 3}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Этап 5.1.2.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x + 3) x}$

Этап 5.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x + 3 \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Этап 5.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 3) \cdot 0}$

Этап 5.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.5.1

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{3 \cdot 0}$

Этап 5.1.3.5.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Этап 5.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - (x + 3)}{(x + 3) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 - (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.2

По правилу суммы производная $3 - (x + 3)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (x + 3)]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x + 3)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x + 3)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x + 3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x + 3]}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.4.2

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + \frac{d}{d x} [3])}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.4.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.4.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.5

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(x + 3) x]}$

Этап 5.3.6

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 3$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 5.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(x + 3) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 5.3.8

Умножим $x + 3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \frac{d}{d x} [x + 3]}$

Этап 5.3.9

По правилу суммы производная $x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}$

Этап 5.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + \frac{d}{d x} [3])}$

Этап 5.3.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x (1 + 0)}$

Этап 5.3.12

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x \cdot 1}$

Этап 5.3.13

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{x + 3 + x}$

Этап 5.3.14

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 3}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Этап 6.2

Найдем предел $- 1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 3}$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 6.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Этап 6.5

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 3}$

Этап 7

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 3}$

Этап 8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{0 + 3}$

Этап 8.1.2

Добавим $0$ и $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Этап 8.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Этап 8.3

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 8.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{1}$